توزیع لگ‌نرمال Log‑Normal Distribution

در نتیجه، توزیع لگ‌نرمال برای داده‌هایی مناسب است که:

• فقط مقادیر مثبت دارند
• مقدارهای خیلی بزرگ (Extreme Values) در آن‌ها طبیعی است
• رشد آن‌ها تصاعدی یا درصدی است، نه خطی

به همین دلیل در مالی، اقتصاد و آمار کاربرد بسیار زیادی دارد.

ویژگی‌های اصلی توزیع لگ‌نرمال

توزیع لگ‌نرمال چند ویژگی مهم دارد:

فقط مقادیر مثبت دارد

در یک توزیع نرمال، احتمال مشاهده عددهای منفی وجود دارد،
اما در توزیع لگ‌نرمال مقدار منفی ممکن نیست.
این ویژگی باعث می‌شود برای مدل‌سازی بسیاری از پدیده‌ها بسیار مناسب باشد.

مثال:
قیمت یک سهم هیچ‌وقت به عدد منفی نمی‌رسد، اما می‌تواند خیلی زیاد رشد کند.
پس قیمت سهام معمولاً بهتر است با توزیع لگ‌نرمال مدل‌سازی شود.

چولگی به سمت راست (Right-Skewed)

بیشتر داده‌ها نزدیک مقادیر پایین هستند،
اما دمِ بالا (Long Tail) به سمت اعداد بسیار بزرگ کشیده می‌شود.

رشد ضربی (Multiplicative Growth)

وقتی داده‌ها با درصد رشد می‌کنند، نه با مقادیر ثابت، این توزیع بهترین مدل است.

مثال:
سودی که سالانه ۱۰٪ اضافه می‌شود، ضربی است نه جمعی—پس رفتارش لگ‌نرمال است.

چرا در مالی از توزیع لگ‌نرمال استفاده می‌شود؟

در بازارهای مالی، بسیاری از متغیرها:

• مثبت هستند
• رشد درصدی دارند
• نوسانات نامتقارن دارند

بنابراین توزیع لگ‌نرمال یک ابزار کلیدی در مدل‌سازی‌ مالی است.

کاربردهای مالی مهم

• مدل‌سازی قیمت سهام
• محاسبه بازدهی مرکب (Compound Returns)
• تحلیل ریسک در سناریوهای بحرانی
• قیمت‌گذاری اختیار معامله (Option Pricing) مبتنی بر مدل بلک–شولز

مثال:
اگر قیمت یک سهم امروز 100 دلار است، ممکن است در آینده 200، 300 یا حتی 500 دلار شود،
اما امکان منفی شدن ندارد—این رفتار دقیقاً لگ‌نرمال است.

ارتباط بین توزیع نرمال و لگ‌نرمال

رابطه این دو توزیع بسیار ساده است:

• اگر X لگ‌نرمال باشد → ln(X) نرمال است
• اگر Y نرمال باشد → exp(Y) لگ‌نرمال است

این تبدیل‌ها در تحلیل داده‌های مالی بسیار کاربردی است.

محاسبات لگ‌نرمال در اکسل

اکسل توابع ویژه‌ای برای تحلیل این نوع داده‌ها دارد.

تابع اصلی:

LOGNORM.DIST(x, mean, standard_dev, cumulative)

ورودی‌ها عبارت‌اند از:

• مقدار x (مثلاً قیمت موردنظر)
• میانگین لگاریتمی
• انحراف معیار لگاریتمی
• حالت تجمعی یا چگالی توزیع

این ابزار برای مدل‌سازی احتمال قیمت‌های آینده، تحلیل ریسک و برآورد نوسانات عالی است.

مثال کاربردی ساده

فرض کنید قیمت سهمی الان 50 دلار است.
براساس داده‌های سال‌های گذشته:

• میانگین لگاریتم رشد سالانه = 0.05
• انحراف معیار لگاریتمی = 0.2

با تابع LOGNORM.DIST می‌توان احتمال اینکه قیمت در پایان سال:

• بالاتر از 60 دلار باشد
• کمتر از 40 دلار باشد
• یا بین 45 تا 70 دلار قرار گیرد

را محاسبه کرد.

جمع‌بندی

• توزیع لگ‌نرمال زمانی استفاده می‌شود که لگاریتم داده‌ها نرمال باشد.
• فقط مقادیر مثبت دارد، بنابراین برای قیمت سهام، بازده مرکب و تحلیل ریسک مناسب است.
• شکل آن چوله به سمت راست است و دم بلند دارد.
• در اکسل می‌توان با LOGNORM.DIST آن را تحلیل کرد.