[Zohreh Gholami]

پارادوکس زندانبان

مسئله زندانبان يكي از مسائل ساده و در عين حال جالب احتمالات است:
زندانبان يك زندان كه در آن احمد، رضا و بهرام زنداني اند تنها كسي است كه ميداند يكي از اين سه نفر محكوم به اعدام شده و دو نفر ديگر آزاد مي شوند. احمد مصمم است نامه اي به همسر خود نوشته ازاو بخواهد تا در صورت محكوميت او پيغامش را به رضا يا بهرام، هركدام آزاد شدند برساند ( توجه كنيد چون تنها يك نفر محكوم به مرگ است بنابراين از دو نفر ديگريعني رضا و بهرام بالاخره يكي آزاد مي شود) لذا احمد از زندانبان خواهش مي كند كه به او بگويد از دو نفر ديگر كداميك آزاد مي شوند. زندانبان از دادن پاسخ امتناع كرده به او مي گويد دادن پاسخ هم ارز افزايش محكوميت او از 3/1 به 2/1 است. بنابراين مايل نيست موجب ناراحتي بيشتر او شود. اين موضوع براي احمد عجيب مي آيد و به طور شهودي نيز قبول آن برايش مشكل است. ازخود سوال مي كند كه پاسخ زندانبان اطلاع جديدي به او نمي دهد، پس چرا اين پاسخ بايد احتمال محكوميت او را افزايش دهد؟

احمد از پيش ميداند كه يكي از دو نفر آزاد مي شوند. بنابراين اطلاع از نام كسي كه آزاد ميشود نبايد احتمال محكوميت او را تغيير دهد. بااستفاده از قضيه بيز به سادگي معلوم مي شود كه حتي اگر زندانبان نام يكي از آنهايي را كه آزاد مي شوند به احمد بگويد باز هم احتمال محكوم شدن احمد همان  3/1 است.


فرض كنيد كه C,B,A  به ترتيب پيشامد محكوم شدن احمد، بهرام و رضا و J اين پيشامد باشد كه زندانبان مثلا بگويد "رضا آزاد مي شود" داريم:
A).P(A)  /  P(J|A).P(A) + P(J|B).P(B) + P(J|C).P(C)  ׀ P(J  J) =׀ P(A
3/1=3/1*0 + 3/1*1 + 3/1*2 /1   / 3/1*2/1=

                                 

به همين ترتيب اگر مثلا K را اين پيشامد فرض كنيم كه زندانبان مثلا بگويد"بهرام آزاد مي شود" آنگاه باز هم به دست مي آوريم:     P(A|K)= 1/3

در اين مسئله ممكن است صرف نظر از جواب رسمي مسئله كه با استفاده از قضيه بيز بدست مي آيد بخواهيم از نقطه نظر شهودي نيز مثلا اشكال گفته زندانبان را دريابيم.

او مي گويد با وجود سه نفر احتمال محكوميت هركدام 3/1 است، اما با فاش شدن نام يكي از آنهايي كه آزاد مي شوند  احتمال محكوميت هر يك از دو نفر ديگر از 3/1 به 2/1 تغيير مي كند.شايد دليل قاطعي كه مي تواند موضوع را مشخص كند توجه به تفاوتهاي مقادير  p(J|A) وp(J|B) است كه در فرمول بالا ملاحظه شد. بازيكنان بازي بريج اين اصل را اصل "مقيد" گويند. بنا به اصل بيان مقيد از اظهارنظر طرف مقابل هيچگونه اطلاع مفيدي بدست نمي آيد.

به وضوح احتمال بيان مقيد بيش از احتمال بيان آزاد است و اشتباه همه آنهايي كه سعي در حل چنين مسائلي دارند اين است كه  اين نكته را در نظر نمي گيرند. در مسئله زندانبان وقتي قرار است بهرام محكوم شود احتمال اينكه زندانبان بگويد " رضا آزاد مي شود" دو برابر بيشتر از وقتي است كه قرار است احمد محكوم شود.( قيد در بيان زندانبان اين است كه وقتي قرار است بهرام محكوم شود ناچار است بگويد "رضا" و آزادي بيان زندانبان در اين است كه وقتي قرار است احمد محكوم شود ميتواند بگويد "بهرام" يا "رضا") 

در پارادوكس زندانبان و جواب آن زياد بحث شده است، اما علي رغم تمام اين بحث ها و جدلها وقتي اين مسئله در يك مجله بازگو شد و نويسنده مقاله( زو وايفل) جواب درست آن را بيان كرد به شدت مورد انتقاد و مواخذه سه رياضيدان قرار گرفت. در شماره 17 فوريه سال 1991 همان مجله نويسنده مقاله مي نويسد: تا اين تاريخ نزديك 2000 نامه در مورد اين مطلب دريافت كرده است كه 92% كل خوانندگان و 65%  كساني كه تحصيلات دانشگاهي داشته اند، نظري برخلاف نظر او عنوان كرده اند.