[Zohreh Gholami]

اعداد اول "Primes"



مقدمه:
ریاضیات اولیه نسبت به اعداد بیگانه بود و شمارش اشیاء اطراف خود را بر حسب غریزه انسان همانطور که مثلا مرغ خانگی تعداد جوجه هایش را میداند انجام می داد. اما انسان امروزی در دنیای اعداد زندگی می­کند. برای مبادلههای تجارتی، محاسبه فرد، مالیات، بیمه، اندازه گیری جدول ساعات، درجه حرارت و یا بزرگی امواج وخلاصه در هر لحظه نیازمند اعدادیم. امروز دیگر یک ریاضیدان، علم حساب و اعداد را به چند عمل ابتدائی خلاصه نمی کند بلکه علم حساب و اعداد دارای مقصدی وسیع و دامنه دار است. بقول دالامبر (dalembert) حساب و اعداد عبارتست از: « کوششی که با در نظر گرفتن معلومات یک مسئله برای رسیدن به نتیجه انجام می گیرد.» به این ترتیب می توان اعداد را ستون فقرات ریاضیات دانست. تکامل حساب و اعداد یک کوشش دسته جمعی است. همیشه افکار بزرگ نتیجهای است از کار متراکم و ممتد عدۀ زیادی متفکر و جوینده، اگرچه نام آنها در فهرست اصلی فراموش شده باشد. و باید گفت نتایج علمی که نصیب دانشمندان میشود و خرسندی بیپایانی که آزمایشهای خود دارند محقق میدارد که چه رنج و کوشش دامنهداری برای پیروزی بر مشکلات متحمل شدهاند.



هدف:
هدف از نوشتن مقالهای از اعداد اول آشنایی کامل با این اعداد، تاریخچۀ آن، جویندگان آنها در دورههای مختلف تاریخ میباشد، البته باید گفت که پیشرفت دائمی اعداد و توسعه شگفت آور آن شایسته هرگونه تحسین و امیدواری است. این جملۀ نیوتن(neuton) منظور من را روشن می کند: (ما به کودکی میمانیم که در کنار دریا در حال گردش است، ابتدا از پیدا کردن یک سنگریزه شفاف و صاف و سپس با دیدن یک صدف زیبا غرق خوشحالی می شود. در حالی که اقیانوس پهناور حقیقت هنوز ناشناخته در جلو او گسترده است.)



تاریخچه اعداد اول:
سومریها که تمدنشان به 1000 سال قبل از میلاد مسیح می رسد دستگاهی به نام شمارشگر اختراع کردند که بسیار پیچیده است و آثار آن دستگاه در کهن ترین مدارک می باشد. در قرن چهارم قبل از میلاد افلاطون([wiki]platon[/wiki]) علم اعداد را از منطق جدا کرد و بیان کرد علوم منظمی مثل علم اعداد در افراد یک تأثیر تربیتی دارند. در قرن پنجم ق.م دانشمندان هندی همچون آپاستامبا ([wiki]Apastamba[/wiki]) ، آریابهاتا ([wiki]Aryabhate[/wiki]) سهم زیادی در پیشرفت علوم ریاضی داشتند. آنها سیستم اعداد فعلی را بوجود آوردند و نظریه اعداد را تکمیل کردند. ملل اسلامی هم نقش بسیار موثری در علوم ریاضی و علم حساب و اعداد داشتند. محمدبن­موسی خوارزمی، کتابدار خلیفه عباسی، رسالهای را دربارۀ اعداد نوشته است. در قرن 15 دانشمندان ایتالیایی باعث ترقی علم اعداد شدند، در قرن های 16 و 17 (میلادی) انگلیسیها در این راه گامهایی برداشتند ولی در قرن هجدهم میلادی ظهور گاوس آلمانی باعث پیشرفت اعداد شد. او در نمایش هندسی اعداد و همینطور اعداد اول تلاشهای قابل ملاحظهای صورت داد البته باید گفت تلاش های پییر فرما([wiki]pierre fermat[/wiki]) شهزاده ریاضیدانان غیر حرفه ای بود که در قرن هفدهم منجر به کشف گونهای از اعداد به نام اعداد اول شد. در 150 سال اخیر یا بیشتر نظریه اعداد پیشرفت های زیادی در جهات مختلف داشت. باید گفت شرح انواع مسائل، قضایایی که در نظریه اعداد بررسی شده اند در اینجا ممکن نیست. چون نظریه اعداد مبحث بسیار وسیعی است و در بعضی قسمت ها نیاز به داشتن مطالب عمیقی از ریاضیات پیشرفته مثل نظریه گالوا و یا آنالیز در سطح بالا دارد. با این حال مسائل زیادی در نظریه اعداد وجود دارد که به آسانی قابل بیانند. برخی از این قضایا در نظریه اعداد مربوط به اعداد اول می شوند. در قرن بیستم یعنی 1914 میلادی ریاضیدان امریکایی دی.ان.لمر با منتشر کردن جدول همه اعداد اول کوچکتر از 10 میلیون متوجه شد که فقط 664579 تا عدد اول وجود دارد یعنی حدود 5/6 درصد، همچنین دی.اچ.لمر(پسر دی.ان.لمر) تعداد اعداد اول کوچکتر از 10 میلیارد را محاسبه کرد و به این نتیجه رسید که تعداد 455052512 عدد اول یعنی حدودا 5/4 درصد.کل اعداد اول موجود است. بررسی دقیق اعداد اول نشان میدهد که اعداد اول توزیع بسیار منظمی دارند. به آسانی ثابت می شود که شکافهای به اندازۀ دلخواه بین آنها وجود دارد. بررسی این اعداد نشان میدهد که اعداد اول متوالی نظیر 3و5 یا 101و 103 همینطور تکرار میشوند، جفتهایی از اعداد اول که تفاضلشان 2 است، اعداد اول دوقلو نامیده میشوند. بیش از 1000 جفت از این جفتها زیر 100000. بیش از 8000 جفت زیر 1000000 وجود دارند. ولی باید گفت این مساله (که آیا بینهایت  از این اعداد وجود دارد یا نه؟) هنوز حل نشده است. پیدا کردن ضابطه های جبری برای اعداد اول جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده بود تا اینکه درست در اردیبهشت ماه 1386 باخبر شدیم سید محمدرضا هاشمی موسوی فرمولی از اعداد اول کشف کرده که دانشمندان برای حل این مساله و دریافت جایزه نوبل و جایزه یک میلیون دلاری آن تا سال 3001 فرصت داشتند که پرفسور هاشمی موسوی فرمول این اعداد را برای اولین بار کشف و به نام خود ثبت کرد. پرفسور هاشمی موسوی، دکترای ریاضی از دانشگاه بوستون کتابی نیز در این زمینه چاپ کرده است که پیشبینی می شود به زودی جایزه نوبل ریاضی را از آن خود خواهد کرد، این جایزه برای اولین بار در طول تاریخ به یک ایرانی و یک مسلمان اهدا خواهد شد. البته باید گفت فرمول ارائه شده از سوی این محقق ایرانی تاکنون مورد تأیید مجامع ریاضیات در دنیا قرار نگرفته است، فرمول اعداد اولی را که پرفسور هاشمی موسوی کشف کرده ، بدین صورت است:



تعریف اعداد اول:
پییر فرما دانشمند قرن هفدهم اولین کسی بود که در خصوص اعداد اول این چنین نوشت: مقصود از اعداد اول(مثبت) عددی است بزرگتر از واحد که بر هیچ عددی غیر از یک و خودش قابل تقسیم نباشد(مقصود تقسیم بدون باقیمانده است) مثلا اعداد 1،2،3،5،13،17 عدد اول هستند و همچنین اعداد 257،65537. لیکن عدد 4294967297 عدد اول نیست زیرا عدد بر 641 قابل تقسیم است. نکته زیر در زندگی پییر فرما در تاریخ ریاضیات دارای اهمیت بزرگی است. اگر اعداد 3،5،17،257،65537 را در نظر گیریم، همه این اعداد دارای وجه مشترک خاصی هستند زیرا همگی متعلق هستند به سلسلۀ خاصی از اعداد که طبق قانون سادهای بوسیلۀ 1،2 ساخته میشوند از این قرار است:

1+2⁴=17          ،          1+2²=5          ،          1+2¹=3

1+2¹⁶=65537         ،          1+2⁸=257

باین طریق هفت عدد از اعداد این سلسله را به عنوان مثال ذکر کردیم و چنانکه دیدیم از این هفت عدد پنج تای اولی از آنها اعداد اول هستند و حال آنکه دو عدد آخری عدد اول نیستند.

تعریف دیگری از اعداد اول: عدد طبیعی p و p>1 را اول نامند به شرطی که تنها مقسوم علیههای مثبت آن 1 و p باشند. اگر عددی طبیعی و بزرگتر از 1 اول نباشد، مرکب است و عدد 1 جزء اعداد استثناء است که نه اول است و نه مرکب. عدد یکان اعداد اول بزرگتر از 10 فقط ممکن است اعداد 1،3،7،9 باشد.

بدون شک علاقه مندی ریمان به اعدا اول باعث انتشار کتابی در این زمینه شد که در آن فرضی دارد به نام "درباره تعداد اعداد اولی که کوچکتر از مقدار معلومی هستند" که این فرضیه ریمان در مجلۀ آکادمی برلین شمارۀ ماه نوامبر 1859 به چاپ رسیده است که ریمان این دانشمندی که در قرن هجدهم می زیست در آن زمان سی وسه ساله بود.

همچنین وقتی که لازم باشد آنرا بین سایر اعداد اول مشخص نمایند، به آن عدد، عدد اول مطلق گویند. با شناسائی جدول فیثاغورث میتوانیم اعداد اول کوچکتر از 100 را بلافاصله بنویسیم. باید گفت تنها عدد صحیح غیر اولی که عوامل اول آن در نظر اول شناخته نمیشود: 13×7=91 میباشد. تعداد اعداد اول کوچکتر از 100 مساوی 25 است که 15 عدد از این اعداد اول بین 1،50 وتنها 10 عدد آنها بین 51 تا 100 قرار گرفته است. این یک مثال ساده از نزولی بودن تعداد اول در مقیاس اعداد صحیح است. باید گفت بزرگترین عدد اول کشف شده تا به امروز برابر 1-2^32582657 است که این عدد به عدد مرسن مشهور است.

غربال آراتوستن: فرض کنید که بخواهیم اعداد اول کوچکتر از 1000 را معین کنیم. ابتدا اعداد را کنار هم می­گذاریم یعنی از 1 تا 1000 را مینویسیم سپس بعد از این کار مضارب3،2 را از مجموعۀ اعداد حذف میکنیم البته بدون حذف خود دو عدد یعنی 3،2 به این ترتیب اعداد باقیمانده از مجموعه اعداد نوشته شده اعداد اول کمتر از 10000 است.

مثال:اعداد اول کمتر از 20 را بدست می آوریم.(به روش غربال اراتوستن)

10  9   8   7   6   5   4  3   2  1

20  19  18  17  16  15  14  13  12  11

قضایای مربوط به اعداد اول:قضیه1: بینهایت عدد اول وجود دارد.( این قضیه مشهور است به حدس اعداد اول مرسن)
برهان: حکم را به روشی که منسوب به اقلیدس است ( برهان خلف) اثبات میکنیم. فرض کنید تعداد متناهی اعداد اول وجود دارد که تعداد آنها nتا می باشد، حال عدد m را که برابر حاصلضرب این اعداد بعلاوۀ 1 را در نظر بگیرید. این عدد مقسوم علیه ای غیر از آن n عدد دارد که با فرض در تناقض است.

            P₁P₂...P_n                           P₁P₂...P_{n +1}>p_i

P₁P₂...P_n>P_i                               P₁P₂...P_{n +1}=P_i1...P_ik

                                          P₁P₂...P_{n +1}=P_{i .x}

                                          P_i1...P_ik= P_{i .x}

                                          P₁P₂...P_n +1= y+1

                                          P_i1.y+1= P_i1.x

                                          P_i1.x-P_i1.y=1

                                          P_i1.(x-y)=1

                                          P_i1=1     

که به تناقض رسیدیم پس حکم ثابت است .
اثبات قضیۀ 1 به گونهای دیگر توسط کومر در سال 1878 میلادی صورت گرفت، این اثبات، اثباتی بسیار زیباست که در عین سادگی نکات جالبی را دربردارد.
اثبات: فرض کنید که همه اعداد اول موجود متناهی و به ترتیب زیر باشند:    P₁<P₂<...<P_r  قرار میدهیم،  P=P₁P₂...P_r>2 اگر اعداد صحیح P-1 دارای عاما مشترک P_i با P باشد آنگاه P_i عامل P-(P-1)=1 است که ناممکن میباشد لذا P-1 عامل اولی به غیر از آنچه ذکر شد دارد که تناقضی آشکار با اثبات است.


قضیۀ2: قضیۀ اساسی حساب: هر عدد طبیعی بزرگتر از 1 را به شکل حاصل ضرب اعدادی اول نوشت.
این قضیه از قضایای مهم نظریه اعداد است که نشان میدهد اعداد اول چگونه همانند بلوکهای ساختمانی در ساختن سایر اعداد نقض دارند. این قضیه به طور ساده بیان می کند، هر عدد صحیح بجز 1 و 1- به صورت حاصل ضرب هایی از عوامل اول قابل نمایش هستند. همچنین این نمایش اعداد به صورت حاصل ضرب عوامل اول، صرف نظر از ترتیب عوامل یکتاست. به عنوان مثال عدد 60 را میتوان به صورت 60=2×2×3×5 به حاصل ضرب عوامل اول نوشت. اگر عدد n را به صورت n=P1P2...Pr به حاصل ضرب عوامل اول بنویسیم، این کار را اصطلاحاً تجزیه عدد n به عوامل اول می گوییم. پس قضیۀ اساسی حساب بیان میکند هر عدد صحیح 1 و 1- قابل تجزیه به عوامل اولند و این تجزیه صرف نظر از ترتیب عوامل اول یکتاست. اصطلاح تجزیه به عوامل اول می تواند اطلاعات زیادی را در مورد مقسوم علیه های آن عدد و به طور کلی ساختار آن عدد در اختیار ما بگذارد. باید توجه داشت که از نظر تاریخی این قضیه اساساً توسط اقلیدس به اثبات رسیده است اما اولین اثبات کامل این قضیه توسط گاوس در کتاب تحقیقات حساب منتشر شده است. همچنین با گسترش جبر مجرد و نظریۀ حلقه مفهومی مشابه در نظریۀ حلقه به عنوان حوزه تجزیه یکتا  ([wiki]VFD[/wiki]) بوجود آمد که در آنها خاصیتی مشابه برقرار است که توسط کومر و زمانی که به روی قضیۀ آخر فرما کار میکرد معرفی شد. این نشان می دهد که اگرچه قضیۀ اساسی حساب در حلقۀ اعداد صحیح بدیهی جلوه میکند اما چنین چیزی در مورد هر حلقه دلخواه بدیهی نیست و ممکن است نادرست باشد.


قضیه3:
قضیۀچیشف: اگر n عددی طبیعی  بزرگتر از 2 باشد حتما بی n و 2n عدداولی وجود دارد.


قضیه 4:
حدس گلدباخ: هر عدد زوج را میتوان بصورت جمع دو عدد اول نوشت.


قضیه 5:
هر عدد فرد(شامل اعداد اول) را میتوان بصورت جمع 3 عدد اول نوشت.


قضیه6:
هر عدد فرد را میتوان بصورت دو برابریک عدد اول بعلاوه یک عدد اول دیگر نوشت.
خواص اعداد اول: مجذور هر عدد اول برابر است با 24n+1
فرما که در قرن 17 می زیست و پایه گذار حساب احتمالات بود بعد از کشف اعداد اول قضیهای به نام (آخرین قضیۀ فرما) از او باقی مانده است که تا امروز به طور کل ثابت نشده است. قضیۀ دیگری از فرما که به قضیۀ فرما شهرت یافته است، یکی از خواص اساسی مربوط به اعداد اول را بیان می کند، به صورت زیر است:

A^p-1≡1 (mode p)         →         p│a^p-1-1